Derivasi: Pengertian, Rumus, Jenis, dan Contohnya
Derivasi adalah konsep fundamental dalam kalkulus yang berkaitan dengan perubahan. Dalam artikel ini, kita akan membahas pengertian derivasi, rumus-rumusnya, jenis-jenis derivasi, serta contoh-contohnya secara rinci.
A. Pengertian Derivasi
Derivasi adalah suatu operasi matematika yang digunakan untuk menentukan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dalam istilah sederhana, derivasi mengukur seberapa cepat fungsi berubah saat inputnya berubah.
Sebagai contoh, jika kita memiliki fungsi posisi suatu benda terhadap waktu, maka turunan (derivatif) dari fungsi tersebut akan memberikan kita kecepatan benda tersebut pada waktu tertentu.
B. Notasi Derivasi
Dalam matematika, terdapat beberapa notasi yang umum digunakan untuk menyatakan derivatif:
1. Notasi Leibniz: Ditulis sebagai (\frac{dy}{dx})
2. Notasi Lagrange: Ditulis sebagai (f'(x))
3. Notasi Newton: Ditulis sebagai (\dot{y})
Ketiga notasi ini memiliki arti yang sama tetapi digunakan dalam konteks yang berbeda.
C. Rumus Derivatif
Berikut adalah beberapa rumus dasar dalam derivatif:
1. Rumus Dasar Derivatif:
– Jika (f(x) = c), maka (f'(x) = 0) (di mana (c) adalah konstanta).
– Jika (f(x) = x^n), maka (f'(x) = nx^{n-1}).
2. Rumus Penjumlahan:
– Jika (f(x) = u(x) + v(x)), maka (f'(x) = u'(x) + v'(x)).
3. Rumus Perkalian:
– Jika (f(x) = u(x)v(x)), maka (f'(x) = u’v + uv’).
4. Rumus Pembagian:
– Jika (f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}), maka
[
f'(x) = \frac{u’v – uv’}{v^2}
]
5. Rumus Rantai:
– Jika (y = f(g(x))), maka
[
\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x)
]
D. Jenis-jenis Derivatif
Terdapat beberapa jenis derivatif yang perlu dipahami:
1. Derivatif Pertama
– Menunjukkan laju perubahan pertama dari suatu fungsi.
2. Derivatif Kedua
– Menunjukkan laju perubahan dari derivatif pertama dan sering kali digunakan untuk menentukan konveksitas grafik fungsi.
3. Derivatif Tingkat Tinggi
– Merupakan turunan berulang dari suatu fungsi.
E. Contoh-contoh Derivasi
Mari kita lihat beberapa contoh penerapan rumus derivatif.
Contoh 1: Derivatif Fungsi Polinomial
Misalkan kita memiliki fungsi berikut:
[ f(x) = 3x^3 + 5x^2 – 2x + 7 ]
Untuk mencari turunan pertama dari fungsi tersebut menggunakan rumus dasar:
[
f'(x) = 9x^2 + 10x – 2
]
Contoh 2: Menggunakan Rumus Penjumlahan
Jika kita punya dua fungsi berikut:
[ u(x) = x^2 + 3 ]
[ v(x) = \sin x ]
Maka,
[ f(x) = u(x) + v(x) ]
[ f'(x) = u'(x) + v'(x) = 2x + \cos x ]
Contoh 3: Menggunakan Rumus Perkalian
Misalkan:
[ u(x)=e^x , v(x)=\ln x ]
Maka,
[ f(x)=uv=e^xx\ln x]
Dengan menggunakan aturan perkalian,
[
f'(x)=u’v+uv’=(e^xx)\ln x+e^xx\frac{1}{x}=e^xx(\ln x+1)
]
Contoh 4: Menggunakan Rumus Pembagian
Misalkan:
[ u(x)=sin x , v(x)=cos x ]
Maka,
[ f(x)=\frac{u}{v}=\frac{\sin x}{\cos x}]
Dengan menggunakan aturan pembagian,
[
f’=\frac{u’v-uv’}{v^2}=\frac{\cos ^2-x\sin ^2 }{\cos ^2 }
=tan^{‘}=sec ^ { }(sec )
]
Contoh 5: Menggunakan Rumus Rantai
Jika kita memiliki fungsi berikut:
[ y=f(g(t))=sin(xt+1)^3,\text { dengan } g(t)=xt+1.]
Untuk mencari turunan menggunakan rumus rantai:
Pertama-tama cari turunan luar dan dalam:
– Turunan luar dari sin adalah cos,
– Turunan dalamnya adalah xt.
Maka,
\[
y’= cos(g(t)) * g^{‘}(t)= cos(xt+1)*t.
\]
F. Aplikasi Derivativ
Derivativ memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, antara lain:
1. Fisik: Digunakan untuk menghitung kecepatan dan percepatan.
2. Ekonomi: Membantu dalam analisis biaya dan pendapatan marginal.
3. Biologi: Untuk model pertumbuhan populasi atau penyebaran penyakit.
G. Kesimpulan
Dalam dunia matematika dan aplikasinya, derivati merupakan alat penting untuk memahami perubahan dan tren dalam berbagai fenomena alami maupun sosial. Dengan mempelajari pengertian, rumus-rumus dasar, serta berbagai jenis dan contoh-contohnya, kita dapat menerapkan konsep ini di berbagai bidang studi dengan lebih efektif.
Pembelajaran tentang derivati memberikan landasan bagi pemahaman lebih lanjut mengenai kalkulus dan analisis matematis lainnya yang sangat berharga untuk penelitian maupun pekerjaan profesional di masa depan.
Semoga artikel ini memberikan wawasan yang lebih mendalam mengenai topik derivati beserta aplikasinya!
